Nacimiento: Nació el 8 de setiembre de 1945, Prijecani, diócesis de Banja Luka, Yugoslavia.
Educación: Estudió en el Seminario Menor, Zagreb; en el Seminario Menor, Djakovo; y en el Seminario Mayor, Djakovo.
Sacerdocio: Ordenado sacerdote el 29 de junio de 1970, en Djakovo. Incardinado en la diócesis de Banja Luka. De 1970 a 1978, trabajó pastoralmente en la diócesis de Banja Luka y en la curia episcopal. Fue director espiritual del Seminario Menor de Zadar, y realizó trabajos pastorales en esa archidiócesis, 1978-1987. Trabajo pastoral en la diócesis de Banja Luka, de 1987-1990. En 1990, en Sarajevo, fue vice-rector de su seminario mayor; relator para los seminarios, y promotor de vocaciones sacerdotales y religiosas, miembro del concilio del presbiterio.
Episcopado: Elegido Arzobispo de Vrhbosna, el 19 de noviembre de 1990. Consagrado, el 6 de enero de 1991, en Ciudad del Vaticano, por el Papa Juan Pablo II.
Cardenalato: Creado Cardenal presbítero, el 26 de noviembre de 1994; recibió la birreta roja y título de S. Chiara a Vigna Clara, el 26 de noviembre de 1994. Asistió a la II Asamblea Especial para Europa del Sínodo de los Obispos, en Ciudad del Vaticano, del 1 al 23 de octubre de 1999. Enviado especial del Papa al II Congreso Eucarístico Nacional de Lituania, Kaunas, del 1 al 4 de junio del 2000. Enviado especial del Papa a las celebraciones en ocasión de la Peregrinación Ucraniana Internacional al Santuario Mariano de Zarvanycia, Ucrania, del 22 al 23 de julio del 2000. Desde 1995 hasta marzo de 2002 fue presidente de la Conferencia Episcopal de Bosnia-Herzegovina. Participó en el Cónclave del 18 y 19 de abril de 2005. Asistió a la XI Asamblea General Ordinaria del Sínodo de los Obispos, Ciudad del Vaticano, 2 al 23 de octubre de 2005.
En la Curia Romana es miembro de la Congregación para la Evangelización de los Pueblos y del Pontificio Consejo para el Diálogo Interreligioso.
Información adicional: Su familia fue pobre en lo material pero rica en la fe de la Iglesia. Fue el penúltimo de 13 niños. Su madre, Kaja, murió cuando él tenía tres años. Su padre volvió a contraer nupcias con Ana, quien se convirtió en una auténtica madre para todos sus hijos. La formación espiritual del joven Vinko fue profundamente influenciada por el Monaterio Trapense de Marija Zvijezda, localizada cerca de su pueblo natal. Precisamente, uno de los monjes de allí vendió su propia motocicleta para ayudar al padre de Vinko a enviar a su hijo al seminario menor de Zagreb.
En varias ocasiones ha mostrado su habilidad para ser un verdadero pacificador, sensible al sufrimiento de la gente, abierto al diálogo y fiel a los principios de la coexistencia entre los diferentes grupos sociales, religiosos y étnicos. El 12 de noviembre de 1992, el Papa Juan Pablo II dirigió una carta a todos los obispos de Bosnia-Herzagovina en la que, refiriéndose al Cardenal Puljic decía "Cuando impuse las manos sobre Ud. el 6 de enero de 1991 para consagrarlo en el oficio de Pastor de la Iglesia de Sarajevo, no tenía idea de que en breve tiempo su cruz sería tan pesada y su copa tan amarga".
En abril de 1997, el Cardenal Puljic dio la bienvenida a Juan Pablo II en Sarajevo; una visita pastoral que el Santo Padre había deseado realizar en septiembre de 1994 pero que imposible de realizar a causa de la guerra.
Investido con la Gran Cruz de Honor y Devoción de la Soberana Orden Militar de Malta, el 18 de octubre de 2001.