Nacimiento: Nació en Buenos Aires el 31 de enero de 1923.
Educación: Cursó sus estudios eclesiásticos en el Seminario de Villa Devoto.Luego de desempeñarse brevemente en la parroquia Santa Rosa de Lima, fue enviado a Roma para completar sus estudios. En la Ciudad Eterna alcanzó el doctorado en Sagrada Teología por la Pontificia Universidad Santo Tomás de Aquino, y la licenciatura en Ciencias Bíblicas por el Pontificio Instituto Bíblico de Roma. Además, en los años 1962 y 1963 realizó un curso de perfeccionamiento en la Escuela Bíblica de Jerusalén.
Sacerdocio: Fue ordenado sacerdote el 22 de setiembre de 1945. Desempeñó una amplia actividad docente y académica como profesor de Sagrada Escritura en la Facultad de Teología de la Universidad Católica Argentina; profesor de griego bíblico, hebreo y arqueología en la misma facultad; profesor de Sagrada Escritura en el Instituto de Cultura Religiosa Superior y en el Instituto de Ciencias Sagradas de los Hermanos Maristas en la Argentina. Asimismo, fue profesor invitado en el Instituto Ecuménico de Altos Estudios Teológicos de Tantur, en Israel.
En 1966 fue designado director de la Comisión de Ecumenismo del arzobispado de Buenos Aires. Al año siguiente se lo nombró secretario del Departamento de Ecumenismo del Consejo Episcopal Latinoamericano (CELAM). Durante el Concilio Vaticano II se desempeñó como perito y de 1969 a 1972 fue presidente del comité, ejecutivo de la Federación Católica Mundial para el Apostolado Bíblico. En 1977 el Papa Pablo VI lo designó secretario de la Comisión Pontificia para las relaciones religiosas con el judaísmo, organismo del área del Secretariado para la Unión de los Cristianos, y el 20 de setiembre de 1979 Juan Pablo II lo distinguió con el título de Capellán de Su Santidad.
Episcopado: Juan Pablo II lo designó vicepresidente de la Pontifica Comisión Justicia y Paz y, al mismo tiempo, lo elevó a la dignidad episcopal, haciéndolo obispo titular de Apollonia el 8 de marzo de 1986. Recibió la ordenación episcopal el 12 de abril de ese año y fue promovido a arzobispo el 4 de marzo de 1994. Fue secretario de la Congregación para los Obispos en la Curia Romana, consultor del Pontificio Consejo para los Laicos y de la Comisión para las Relaciones Religiosas con los Hebreos, miembro del Consejo Pontificio para la Pastoral de los Migrantes e Itinerantes y Secretario del Colegio Cardenalicio. Además de toda su actividad pastoral, docente y académica y su frondosa producción editorial y periodística, Mons. Mejía fue más conocido por haberse desempeñado como director de la revista católica "Criterio" durante 22 años, de 1956 a 1977, sucediendo a Mons. Gustavo J. Franceschi.
Cardenalato: Creado Cardenal diácono el 21 de febrero del 2001; recibió la birreta roja y la Diaconía de San Jerónimo de la Caridad. Pedrió el derecho a participar en el cónclave cuando alcanzó los 80 años de edad, 31 de enero de 2003. Renunció al cargo de Archivista y Bibliotecario de la Santa Iglesia de Roma, 24 de noviembre de 2003.